이토 확률과정과 이토의 보조정리(ito's lemma)

 

이토의 확률과정은 다음의 식을 말합니다. dW(t)는 위너 과정입니다.

 

 

이토의 보조정리는 이토 확률과정을 따르는 S(t)에 파생된 다음의 함수가 있다고 했을 때

 

 

위의 함수를 테일러 전개를 하면 다음의 식이 됩니다. 

 

 

순간 변화량으로 위의 식을 다시 정리하면  아래와 같이 됩니다.  

 

 

위의 식이 매우 복잡하지만,

 

으로 미분을 하였을 때

 

의 항들은 모두 0으로 수렴하여 제거할 수 있게 됩니다.

 

이는 위너 과정의 변수는 다음을 만족하기 때문입니다.

 

역시 위의 식을 이용해서 한번 더 정리를 하면 다음과 같이 정리를 할 수 있는데,

이를 이토의 보조정리라고 합니다.