브라운 운동, 산술 브라운 운동, 기하 브라운 운동, Wiener 과정

 브라운 운동은 1827년 영국의 식물학자 R.브라운이 물에 떠 있는 꽃가루를 현미경으로 관찰하고 있을 때, 꽃가루에서 나온 작은 입자가 수면 위를 끊임없이 돌아다니는 것을 발견하였는데, 이런 무작위 적인 움직임을 브라운 운동이라고 합니다.

 

 

아래는 위키피디아에서 정의하는 Wiener 과정 입니다. 수학에서 브라운 운동을 서술하는 것이 Wiener 과정이라고 하는 군요.

 

In mathematics, Brownian motion is described by the Wiener process; a continuous-time stochastic process named in honor of Norbert Wiener. It is one of the best known Lévy processes (càdlàg stochastic processes with stationary independent increments) and occurs frequently in pure and applied mathematics, economics and physics.

The Wiener process W_t is characterised by four facts:

1. W₀ = 0
2. W_t is almost surely continuous
3. W_t has independent increments
4. (for ).

denotes the normal distribution with expected value μ and variance σ². The condition that it has independent increments means that if then and are independent random variables.

 

 

브라운 운동의 정의에서도 마찬가지지만 Wiener 과정에서 중요한 점 특징 중 하나는 바로 연속이라는 것입니다.

 

한편 주식의 가격 변화 모델링은 브라운 운동을 그냥 쓰는 것이 아니라, 특정 추세가 있다고 보고, 산술 브라운 운동이나 기하 브라운 운동을 사용하게 됩니다. 특히 주식은 기하 브라운 운동으로 모델링을 합니다.

 

 

산술 브라운 운동은 아래의 모델을 의미하고

 

 

 

기하 브라운 운동은 아래의 모델입니다.

 

 

 

산술 브라운 운동에서는 다음 변화가 현재 값에 영향을 받지 않는 반면, 기하 브라운 운동에서는 현재 값에 영향을 받습니다. 주식으로 치자면, 100만원짜리 주식과 만원짜리 주식은 다음 변화량이 당연히 다르겠죠?